平面几何中等积式的证明方法
方月梅
几何证明问题是培养学生逻辑推理
技能、提高逻辑思维能力的有效途径之一。平面几何中等积式的证明是一种常见且重要的题型，这类问题的处理带有一定的规律性。本文将结合教学具体实例，挖掘解决问题的思路与方法。
一、 借助比例式。
在证明形如ab=cd的等积式时，若a、b和c、d分布在两个三角形中，且相似，可以考虑将等式转化为比例式。通过证明其所在的两个三角形相似来完成。
例1. 如图，BE是△ABC外接园O的直径，CD是高。
求证：AC·BC=BE·CD.
分析：线段AC、BC、BE、CD分布在△ACD和△EBC中。因此，把AC·BC=BE·CD转化为
，可以通过证明这两个三角形相似来解决此问题。
证明：连结CE（如图）,
∵BE是⊙O的直径，AB⊥CD,
∴∠BCE=90°,∠ADC=90°
∵弧BC=弧BC
∴∠BAC=∠BEC
∴△ACD∽△EBC
∴
∴AC·BC=BE·CD
此题就是把AC、CD和BC、BE放在△ACD和△EBC中，从而找出要连结CE来解决问题的。
二、 等量（等比）变换
将ab=cd变形为
式，且a、b、c、d不在两个三角形中，应考虑将a、b、c、d中的一条线段替换。
例2. 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，弦AE、CD的延长线相交于点F。
求证：AC·CF
=AF·CE。
分析：把AC·CF=AF·CE转化为
，而线段AC、CF、AF、CE分别在△ACF和△CFE中.但这两个三角形不相似，因此，可以考虑把某一线段替换，根据垂径定理可知。连结AD后，会有AC=AD,通过证明△
FDA和△FEC相似来解决此问题。
证明：连结AD,
∵直径AB垂直于弦CD，
∴AB平分CD，
∴AC=AD
∵弧DE=弧ED
∴∠FAD=∠FCE
∵∠F=∠F
∴△FEC∽△FDA
∴
则 
∴ AC·CF=AF·CE
问题的关键是如何把AC换成AD，然后再找四条线段所在的两个三角形相似来解决问题。
三、 找中间比
如果不能直接证明
，可转变为
和
，。从而证得
。这种解题思路的关键在找出中间比
。
例3. 
如图，过⊙O上一点P作弦AB的垂线PC，分别过点A、B作过P点的切线的垂线AD、BE。
求证：PC
=
AD·BE
分析：把PC
=
AD·BE转化为
后，可知PC应放在
两个三角形中，从而想到要连结PA、PB。然后找出对应的两对三角形相似即可，再利用
和
，从而证明出所需的等积关系式。
证明：连结PA、PB，则∠APD=∠DBC
∵∠ADP=∠PCB=90°
∴△APD∽△PBC
∴
同理可得
∴
∴PC
=
AD·BE
此问题的关键是把
作为一桥板，搭起
的桥梁。
四、 拆分转化
对于证明形如ab=cd±ef类型的几何证明问题，往往需要把式子先拆分转化后，再去证明。例如：
例4、四边形ABCD内接于⊙O，E式BD上一点，且有∠BAE=∠DAC。
求证：AB·DC+ AD·BC = AC·BD。
分析：利用拆分法，由图形可知BD=EB+DE，把问题转化为证明AB·DC+ AD·BC = AC·EB+ AC·DE。
证明：∵∠ABD和∠ACD都是弧AD所对的圆周角，
∴∠ABD=∠ACD。
∵∠BAE=∠DAC，
∴△ABE∽△ACD。
∴
，
即AB·DC=AC·EB。………………………………①
∵∠BAE=∠DAC，
∴∠DAE=∠CAB。
又∠ADE=∠ACB，
∴△ADE∽△ACB。………………………………②
∴
，
即AD·BC=AC·DE。
由①+②，得
AB·DC+ AD·BC = AC·EB+ AC·DE，
即AB·DC+ AD·BC = AC·BD。
例5、已知圆内接四边形ABCD的一组对边AB和DC的延长线交于P点，另一组对边AD和BC的延长线交于Q点，过点P，Q引圆的两条切线，切点分别为E、F。
求证：PQ
=PE
+QF
。
分析：由切割线定理可得PE
= PC·PD，
QF
= QC·QB。如何使PC·PD，QC·QB与PQ发生关系呢？作△QCD的外接圆，问题就可以
解决。
证明：如图，作△QCD的外接圆，交PQ于点M，连结MC，
则
∠1=∠2=∠3.
∴ P、B、C、M四点共圆。
∴QF
= QC·QB= QM·QP，………………………①
PE
= PC
·PD=PM·PQ，………………………②
由①+②，可得
PE
+QF
= PQ·（PM+MQ）= PQ
即PQ
=PE
+QF
。
这两个问题都是用拆分法解决的，也是学生比较畏惧的问题。问题的关键是拆分后，放在那两个三角形中，然后证得相似，再转化，从而解决问题。
平面几何中等积式的证明方常常是借助三角形相似和圆的有关知识来解决，这类问题对培养学生逻辑推理技能，提高逻辑思维能力非常有帮助。通过以上几种方法可以很好、快速的解决平面几何中等积式的
证明问题 。
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